三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQを求める。

## 解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。

まず、チェバの定理より、以下の式が成り立つ。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題文より、$BP:PC = 3:4$、$CQ:QA = 3:2$ なので、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{9}{8} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{8}{9}$

次に、メネラウスの定理を三角形APCと直線BQに対して用いる。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

問題文より、$AQ:QC = 2:3$、$BP:PC = 3:4$ なので、$CB:BP = (3+4):3 = 7:3$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{14}{9} \cdot \frac{PR}{RA} = 1$

$\frac{PR}{RA} = \frac{9}{14}$

よって、$AR:RP = 14:9$

次に、メネラウスの定理を三角形BCQと直線APに対して用いる。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

問題文より、$BP:PC = 3:4$、$AQ:QC = 2:3$ なので、$CA:AQ = (2+3):2 = 5:2$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{15}{8} \cdot \frac{QR}{RB} = 1$

$\frac{QR}{RB} = \frac{8}{15}$

よって、$BR:RQ = 15:8$

3. 最終的な答え

AR:RP = 14:9

BR:RQ = 15:8