四角形ABCDが円に内接しており、点Aにおける円の接線を$\ell$とする。$\angle BCD$の大きさを求める。ただし、$\angle DBA = 25^\circ$, $\angle DAB = 42^\circ$である。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、点Aにおける円の接線を$\ell$とする。$\angle BCD$の大きさを求める。ただし、$\angle DBA = 25^\circ$, $\angle DAB = 42^\circ$である。

2. 解き方の手順

まず、接弦定理より、$\angle DAB = \angle ACB = 42^\circ$となる。

次に、$\angle ADB = \angle ACB = 42^\circ$である。（円周角の定理より、弧ABに対する円周角は等しい）

$\triangle ABD$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$42^\circ + 25^\circ + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ADB = 180^\circ - (42^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$

よって、$\angle ADB = \angle ACB = 42^\circ$

四角形ABCDは円に内接しているので、向かい合う角の和は$180^\circ$である。

$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle BAC = \angle BDC= 25^{\circ}$ （円周角の定理より）

$\angle CAD= 42^{\circ} + 25^{\circ} =67^{\circ}$

$\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$

$\angle BAD= 42 + 25= 67^{\circ}$

$\angle BCD + (42^{\circ}+ 25^{\circ}) = 180^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - (42^\circ+ 25^\circ ) = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$

よって、$\angle BCD = 113^\circ$である。

3. 最終的な答え

113