円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとする。$\angle ABD = 25^\circ$、$\angle DAB = 42^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、点Aにおける円の接線をlとする。$\angle ABD = 25^\circ$、$\angle DAB = 42^\circ$であるとき、$\angle BCD$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$が成り立つ。

$\angle BAD$を求めるために、$\angle DAB$と接弦定理を利用する。接弦定理より、$\angle DAB = \angle BCA = 42^\circ$である。

次に、$\angle DAC$を求める。$\angle DAC = \angle DBC = 25^\circ$ (円周角の定理)。

したがって、

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 42^\circ + 25^\circ = 67^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle BCD = 113^\circ$