$x = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$、 $y = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき、$x^2 - xy + y^2$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$、 $y = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$のとき、$x^2 - xy + y^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{5-1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5-1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

次に、$x + y$ と $xy$ を計算します。

$x + y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$xy = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

最後に、$x^2 - xy + y^2$ を $(x+y)^2$ と $xy$ を用いて表します。

$x^2 - xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = (x+y)^2 - 3xy$

ここで、$x+y=3$、$xy=1$を代入します。

$x^2 - xy + y^2 = (3)^2 - 3(1) = 9 - 3 = 6$

3. 最終的な答え

6