2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + a + 1$ のグラフの頂点が、直線 $y = 3x - 11$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4ax + a + 1$ のグラフの頂点が、直線 $y = 3x - 11$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成して頂点の座標を求めます。

$y = 2x^2 - 4ax + a + 1 = 2(x^2 - 2ax) + a + 1$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + a + 1 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + 1$

したがって、頂点の座標は $(a, -2a^2 + a + 1)$ です。

次に、頂点が直線 $y = 3x - 11$ 上にあるので、頂点の座標をこの直線の方程式に代入します。

$-2a^2 + a + 1 = 3a - 11$

$-2a^2 + a + 1 - 3a + 11 = 0$

$-2a^2 - 2a + 12 = 0$

$2a^2 + 2a - 12 = 0$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

したがって、$a = -3$ または $a = 2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -3$ または $a = 2$