$a:b = c:d$ のとき、以下の等式を証明する。 (1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ (2) $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$

1. 問題の内容

$a:b = c:d$ のとき、以下の等式を証明する。

(1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

(2) $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$

2. 解き方の手順

$a:b = c:d$ より、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ となる。この値を $k$ とおく。つまり、$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$。

これから、$a = bk$ および $c = dk$ が得られる。

(1) の証明：

左辺 $\frac{a+b}{b}$ に $a=bk$ を代入する。

$\frac{a+b}{b} = \frac{bk+b}{b} = \frac{b(k+1)}{b} = k+1$

右辺 $\frac{c+d}{d}$ に $c=dk$ を代入する。

$\frac{c+d}{d} = \frac{dk+d}{d} = \frac{d(k+1)}{d} = k+1$

したがって、$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ が成り立つ。

(2) の証明：

左辺 $\frac{a-b}{a+b}$ に $a=bk$ を代入する。

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{bk-b}{bk+b} = \frac{b(k-1)}{b(k+1)} = \frac{k-1}{k+1}$

右辺 $\frac{c-d}{c+d}$ に $c=dk$ を代入する。

$\frac{c-d}{c+d} = \frac{dk-d}{dk+d} = \frac{d(k-1)}{d(k+1)} = \frac{k-1}{k+1}$

したがって、$\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ は成り立つ。

(2) $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ は成り立つ。