与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解きます。画像には4つの問題があります。今回は、そのうちの(1)と(2)を解きます。 (1) $ \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 4 \\ 6x + 5y + 6z = 12 \end{cases} $ (2) $ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $

はい、承知いたしました。連立方程式の掃き出し法による解法について説明します。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解きます。画像には4つの問題があります。今回は、そのうちの(1)と(2)を解きます。

(1)

$$

\begin{cases}

x + 2y + z = 2 \\

2x + 3y + 2z = 4 \\

6x + 5y + 6z = 12

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 \\

-1 & 2 & -1 \\

-1 & -1 & 2

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\

-1 \\

1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1)の解き方

まず、連立方程式を行列で表します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 3 & 2 & 4 \\

6 & 5 & 6 & 12

\end{pmatrix}

$$

1行目を-2倍して2行目に足し、1行目を-6倍して3行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & -7 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -7 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目を-2倍して1行目に足し、2行目を7倍して3行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x + z = 2$、$y = 0$となります。$z = t$とおくと、$x = 2 - t$となります。

(2)の解き方

まず、連立方程式を行列で表します。

$$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & 2 & -1 & -1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}

$$

1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 2 & -1 & -1 \\

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}

$$

1行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

2 & -1 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 2 & 1

\end{pmatrix}

$$

1行目を-2倍して2行目に足し、1行目を1倍して3行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

0 & 3 & -3 & -1 \\

0 & -3 & 3 & 2

\end{pmatrix}

$$

2行目を3で割ります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -2 & 1 & 1 \\

0 & 1 & -1 & -1/3 \\

0 & -3 & 3 & 2

\end{pmatrix}

$$

2行目を2倍して1行目に足し、2行目を3倍して3行目に足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 1/3 \\

0 & 1 & -1 & -1/3 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

最後の行は、$0x + 0y + 0z = 1$となり、これを満たすx,y,zは存在しません。したがって、この連立方程式は解なしです。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 - t$, $y = 0$, $z = t$ (tは任意の実数)

(2) 解なし