与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解く。問題は2つあり、それぞれ以下の通りである。 (1) $x + 2y + z = 2$ $2x + 3y + 2z = 4$ $6x + 5y + 6z = 12$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を掃き出し法（基本変形）を用いて解く。問題は2つあり、それぞれ以下の通りである。

(1)

$x + 2y + z = 2$

$2x + 3y + 2z = 4$

$6x + 5y + 6z = 12$

(2)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 掃き出し法を用いて解く。

まず、拡大係数行列を作成する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 6 & 5 & 6 & 12 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の2倍を引き、第3行から第1行の6倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

第2行を-1倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の2倍を引き、第3行に第2行の7倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は、$x + z = 2$ と $y = 0$ を意味する。

したがって、$z = k$ とすると、$x = 2 - k$ となる。

(2) 掃き出し法を用いて解く。

まず、拡大係数行列を作成する。

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

第1行と第2行を入れ替える。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

第1行を-1倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の2倍を引き、第3行に第1行を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

第2行を3で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1/3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

第1行に第2行の2倍を足し、第3行に第2行の3倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1/3 \\ 0 & 1 & -1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後の行は $0 = 1$ を意味するため、この連立方程式は解を持たない。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 2 - k$, $y = 0$, $z = k$ (kは任意の実数)

(2)

解なし