与えられた行列Aに対して、正則性を判定し、正則行列であれば逆行列を求める。計算過程を示す。与えられた行列は以下の通り。 (i) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (iii) $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ (iv) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ (v) $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (vi) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aに対して、正則性を判定し、正則行列であれば逆行列を求める。計算過程を示す。与えられた行列は以下の通り。

(i) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(iii) $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

(iv) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

(v) $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(vi) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

正則性の判定：行列式を計算し、行列式が0でなければ正則である。

逆行列の計算：正則行列の場合、掃き出し法または余因子行列を用いて逆行列を計算する。

(i) $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

$\det(A) = (1)(7) - (5)(3) = 7 - 15 = -8 \neq 0$

よって、Aは正則である。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/8 & 5/8 \\ 3/8 & -1/8 \end{pmatrix}$

(ii) $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = -1(2-3) - 1(1+1) + 2(3+2) = 1 - 2 + 10 = 9 \neq 0$

よって、Aは正則である。

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いる。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -5/3 & -2/3 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1/9 & 5/9 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 & -2/9 & 1/9 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1 & 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/9 & 5/9 & -1/3 \\ -2/9 & 1/9 & 1/3 \\ 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix}$

(iii) $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(-2-0) - 3(4-0) - 2(-4-3) = -2 - 12 + 14 = 0$

よって、Aは正則ではない。

(iv) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(2+3) - 2(4-6) + 2(-2-2) = 5 + 4 - 8 = 1 \neq 0$

よって、Aは正則である。

掃き出し法を用いる。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4/3 & -1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & -4/3 & 5/3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4/3 & -1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 5 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & -6 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

(v) $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(1-0) - a(0-0) + b(0-0) = 1 \neq 0$

よって、Aは正則である。

$\begin{pmatrix} 1 & a & b & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(vi) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(24-25) - 2(12-15) + 3(10-12) = -1 + 6 - 6 = -1 \neq 0$

よって、Aは正則である。

掃き出し法を用いる。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -5 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) 正則。逆行列は $\begin{pmatrix} -7/8 & 5/8 \\ 3/8 & -1/8 \end{pmatrix}$

(ii) 正則。逆行列は $\begin{pmatrix} -1/9 & 5/9 & -1/3 \\ -2/9 & 1/9 & 1/3 \\ 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix}$

(iii) 正則ではない。

(iv) 正則。逆行列は $\begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

(v) 正則。逆行列は $\begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(vi) 正則。逆行列は $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$