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与えられた行列$A$に対して、正則かどうかを判定し、正則であれば逆行列を求める。計算過程も示す。具体的には、以下の6つの行列について行う。 (i) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (iii) $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ (iv) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ (v) $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (vi) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

代数学行列正則逆行列行列式掃き出し法
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた行列AAに対して、正則かどうかを判定し、正則であれば逆行列を求める。計算過程も示す。具体的には、以下の6つの行列について行う。
(i) (1537)\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}
(ii) (−112121−131)\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
(iii) (13−22−10−3−22)\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}
(iv) (1222132−12)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}
(v) (1ab01c001)\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(vi) (123245356)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列の正則性を判定するには、行列式を計算します。行列式が0でなければ正則であり、逆行列が存在します。逆行列は、掃き出し法（行基本変形）を用いて求めます。
(i) A=(1537)A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}
det⁡(A)=(1)(7)−(5)(3)=7−15=−8≠0\det(A) = (1)(7) - (5)(3) = 7 - 15 = -8 \neq 0
AAは正則である。
(15∣1037∣01)→R2−3R1(15∣100−8∣−31)→−18R2(15∣1001∣38−18)→R1−5R2(10∣1−1585801∣38−18)=(10∣−785801∣38−18)\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 3 & 7 & | & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & -8 & | & -3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{8}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 5R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 - \frac{15}{8} & \frac{5}{8} \\ 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & -\frac{7}{8} & \frac{5}{8} \\ 0 & 1 & | & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}
(ii) A=(−112121−131)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
det⁡(A)=−1(2−3)−1(1+1)+2(3+2)=1−2+10=9≠0\det(A) = -1(2 - 3) - 1(1 + 1) + 2(3 + 2) = 1 - 2 + 10 = 9 \neq 0
AAは正則である。
(−112∣100121∣010−131∣001)→R1×(−1)(1−1−2∣−100121∣010−131∣001)→R2−R1,R3+R1(1−1−2∣−100033∣11002−1∣−101)→13R2(1−1−2∣−100011∣1313002−1∣−101)→R1+R2,R3−2R2(10−1∣−23130011∣1313000−3∣−53−231)→−13R3(10−1∣−23130011∣13130001∣5929−13)→R1+R3,R2−R3(100∣−1959−13010∣−291913001∣5929−13)\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \times (-1)} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-R_1, R_3+R_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 2 & -1 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1+R_2, R_3-2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -3 & | & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1+R_3, R_2-R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{9} & \frac{5}{9} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{2}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}
(iii) A=(13−22−10−3−22)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}
det⁡(A)=1(−2−0)−3(4−0)+(−2)(−4−3)=−2−12+14=0\det(A) = 1(-2 - 0) - 3(4 - 0) + (-2)(-4 - 3) = -2 - 12 + 14 = 0
AAは正則ではない。
(iv) A=(1222132−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}
det⁡(A)=1(2+3)−2(4−6)+2(−2−2)=5+4−8=1≠0\det(A) = 1(2+3) - 2(4-6) + 2(-2-2) = 5 + 4 - 8 = 1 \neq 0
AAは正則である。
(122∣100213∣0102−12∣001)→R2−2R1,R3−2R1(122∣1000−3−1∣−2100−5−2∣−201)→−13R2(122∣1000113∣23−1300−5−2∣−201)→R1−2R2,R3+5R2(1043∣−132300113∣23−13000−13∣43−531)→−3R3(1043∣−132300113∣23−130001∣−45−3)→R1−43R3,R2−13R3(100∣5−64010∣2−21001∣−45−3)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & -2 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -5 & -2 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2, R_3 + 5R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} & | & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & | & \frac{4}{3} & -\frac{5}{3} & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-3R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} & | & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -4 & 5 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - \frac{4}{3}R_3, R_2 - \frac{1}{3}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 & -6 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}
(v) A=(1ab01c001)A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0
AAは正則である。
(1ab∣10001c∣010001∣001)→R1−aR2(10b−ac∣1−a001c∣010001∣001)→R1−(b−ac)R3,R2−cR3(100∣1−a−b+ac010∣01−c001∣001)\begin{pmatrix} 1 & a & b & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - aR_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & b-ac & | & 1 & -a & 0 \\ 0 & 1 & c & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - (b-ac)R_3, R_2 - cR_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -a & -b+ac \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(vi) A=(123245356)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}
det⁡(A)=1(24−25)−2(12−15)+3(10−12)=−1+6−6=−1≠0\det(A) = 1(24-25) - 2(12-15) + 3(10-12) = -1 + 6 - 6 = -1 \neq 0
AAは正則である。
(123∣100245∣010356∣001)→R2−2R1,R3−3R1(123∣10000−1∣−2100−1−3∣−301)→R2↔R3(123∣1000−1−3∣−30100−1∣−210)→−R2,−R3(123∣100013∣30−1001∣2−10)→R1−2R2(10−3∣−502013∣30−1001∣2−10)→R1+3R3,R2−3R3(100∣1−32010∣−33−1001∣2−10)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & | & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{-R_2, -R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & | & -5 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & | & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + 3R_3, R_2 - 3R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(i) 正則。逆行列は(−785838−18)\begin{pmatrix} -\frac{7}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}
(ii) 正則。逆行列は(−1959−13−2919135929−13)\begin{pmatrix} -\frac{1}{9} & \frac{5}{9} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & \frac{2}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}
(iii) 正則ではない。
(iv) 正則。逆行列は(5−642−21−45−3)\begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}
(v) 正則。逆行列は(1−a−b+ac01−c001)\begin{pmatrix} 1 & -a & -b+ac \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(vi) 正則。逆行列は(1−32−33−12−10)\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

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