$I_1$, $I_2$, $I_3$ に関する以下の3元連立1次方程式の解が存在するような $E$ の値を求める問題です。 $I_1 + I_2 = I_3$ $1\Omega \cdot I_1 + 2\Omega \cdot I_2 = 8V$ $1\Omega \cdot I_2 + 1\Omega \cdot I_3 = EV$

## 問題1

1. 問題の内容

$I_1$, $I_2$, $I_3$ に関する以下の3元連立1次方程式の解が存在するような $E$ の値を求める問題です。

$I_1 + I_2 = I_3$

$1\Omega \cdot I_1 + 2\Omega \cdot I_2 = 8V$

$1\Omega \cdot I_2 + 1\Omega \cdot I_3 = EV$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 \\

1 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

I_1 \\ I_2 \\ I_3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

0 \\ 8 \\ E

\end{pmatrix}$

この連立方程式が解を持つためには、係数行列の行列式が0でない必要があります。

係数行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & -1 \\

1 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + (-1) \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 2 - 1 - 1 = 0

$$

係数行列の行列式は0なので、クラメルの公式は直接は使えません。

連立方程式を整理します。

$I_3 = I_1 + I_2$を2番目と3番目の式に代入します。

$I_1 + 2I_2 = 8$

$I_2 + I_1 + I_2 = E$

$I_1 + 2I_2 = E$

したがって，$E = 8$ となります。

3. 最終的な答え

$E = 8$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた4次の行列式の値を計算する問題です。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 8 & 8 & 1 \\

0 & 5 & 0 & 4 \\

0 & 6 & 1 & 4 \\

1 & 9 & 4 & 9

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

4次の行列式を計算するために、まず1行目の要素を使って展開します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 8 & 8 & 1 \\

0 & 5 & 0 & 4 \\

0 & 6 & 1 & 4 \\

1 & 9 & 4 & 9

\end{vmatrix}

= 1 \cdot

\begin{vmatrix}

5 & 0 & 4 \\

6 & 1 & 4 \\

9 & 4 & 9

\end{vmatrix}

- 8 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 4 \\

0 & 1 & 4 \\

1 & 4 & 9

\end{vmatrix}

+ 8 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 5 & 4 \\

0 & 6 & 4 \\

1 & 9 & 9

\end{vmatrix}

- 1 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 5 & 0 \\

0 & 6 & 1 \\

1 & 9 & 4

\end{vmatrix}

$$

次に、各3次の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

5 & 0 & 4 \\

6 & 1 & 4 \\

9 & 4 & 9

\end{vmatrix}

= 5(1 \cdot 9 - 4 \cdot 4) - 0 + 4(6 \cdot 4 - 1 \cdot 9) = 5(9 - 16) + 4(24 - 9) = 5(-7) + 4(15) = -35 + 60 = 25

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 4 \\

0 & 1 & 4 \\

1 & 4 & 9

\end{vmatrix}

= -4 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & 1 \\

1 & 4

\end{vmatrix} = -4(0 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = -4(-1) = 4

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & 5 & 4 \\

0 & 6 & 4 \\

1 & 9 & 9

\end{vmatrix}

= 1 \cdot

\begin{vmatrix}

5 & 4 \\

6 & 4

\end{vmatrix} = 5 \cdot 4 - 4 \cdot 6 = 20 - 24 = -4

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & 5 & 0 \\

0 & 6 & 1 \\

1 & 9 & 4

\end{vmatrix}

= 1 \cdot

\begin{vmatrix}

5 & 0 \\

6 & 1

\end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - 0 \cdot 6 = 5

$$

したがって、元の4次の行列式の値は次のようになります。

$1 \cdot 25 - 8 \cdot 4 + 8 \cdot (-4) - 1 \cdot 5 = 25 - 32 - 32 - 5 = 25 - 69 = -44$

3. 最終的な答え

-44