複素数 $z$ に対して、式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ とおきます。ここで、$x$ と $y$ は実数です。

すると、$\bar{z} = x - yi$ となります。

したがって、$z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2$ です。

次に、 $(3-3i)z + (3+3i)\bar{z}$ を計算します。

$(3-3i)z = (3-3i)(x+yi) = 3x + 3yi - 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3y-3x)i$

$(3+3i)\bar{z} = (3+3i)(x-yi) = 3x - 3yi + 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3x-3y)i$

したがって、$(3-3i)z + (3+3i)\bar{z} = (3x + 3y + (3y-3x)i) + (3x + 3y + (3x-3y)i) = 6x + 6y$

与えられた式にこれらの結果を代入すると、

$z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2$

$z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) + 2 - 9 - 9 = (x+3)^2 + (y+3)^2 -16$

しかし、問題文の指示から最終的な値を定めることができないため、

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2$

が、答えとなります。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2$