複素数 $z$ に対して、式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2$ の値を求めます。代数学複素数共役複素数平方完成2025/3/71. 問題の内容複素数 zzz に対して、式 zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2 の値を求めます。2. 解き方の手順まず、z=x+yiz = x + yiz=x+yi とおきます。ここで、xxx と yyy は実数です。すると、zˉ=x−yi\bar{z} = x - yizˉ=x−yi となります。したがって、zzˉ=(x+yi)(x−yi)=x2+y2z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2zzˉ=(x+yi)(x−yi)=x2+y2 です。次に、 (3−3i)z+(3+3i)zˉ(3-3i)z + (3+3i)\bar{z}(3−3i)z+(3+3i)zˉ を計算します。(3−3i)z=(3−3i)(x+yi)=3x+3yi−3xi−3yi2=3x+3y+(3y−3x)i(3-3i)z = (3-3i)(x+yi) = 3x + 3yi - 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3y-3x)i(3−3i)z=(3−3i)(x+yi)=3x+3yi−3xi−3yi2=3x+3y+(3y−3x)i(3+3i)zˉ=(3+3i)(x−yi)=3x−3yi+3xi−3yi2=3x+3y+(3x−3y)i(3+3i)\bar{z} = (3+3i)(x-yi) = 3x - 3yi + 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3x-3y)i(3+3i)zˉ=(3+3i)(x−yi)=3x−3yi+3xi−3yi2=3x+3y+(3x−3y)iしたがって、(3−3i)z+(3+3i)zˉ=(3x+3y+(3y−3x)i)+(3x+3y+(3x−3y)i)=6x+6y(3-3i)z + (3+3i)\bar{z} = (3x + 3y + (3y-3x)i) + (3x + 3y + (3x-3y)i) = 6x + 6y(3−3i)z+(3+3i)zˉ=(3x+3y+(3y−3x)i)+(3x+3y+(3x−3y)i)=6x+6y与えられた式にこれらの結果を代入すると、zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+y2+6x+6y+2z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+y2+6x+6y+2zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+6x+y2+6y+2=(x2+6x+9)+(y2+6y+9)+2−9−9=(x+3)2+(y+3)2−16z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) + 2 - 9 - 9 = (x+3)^2 + (y+3)^2 -16zzˉ+(3−3i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+6x+y2+6y+2=(x2+6x+9)+(y2+6y+9)+2−9−9=(x+3)2+(y+3)2−16しかし、問題文の指示から最終的な値を定めることができないため、x2+y2+6x+6y+2x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2x2+y2+6x+6y+2が、答えとなります。3. 最終的な答えx2+y2+6x+6y+2x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2x2+y2+6x+6y+2