複素数 $z$ に対して、式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2$ の値を求めます。

代数学複素数共役複素数平方完成
2025/3/7

1. 問題の内容

複素数 zz に対して、式 zzˉ+(33i)z+(3+3i)zˉ+2z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、z=x+yiz = x + yi とおきます。ここで、xxyy は実数です。
すると、zˉ=xyi\bar{z} = x - yi となります。
したがって、zzˉ=(x+yi)(xyi)=x2+y2z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 です。
次に、 (33i)z+(3+3i)zˉ(3-3i)z + (3+3i)\bar{z} を計算します。
(33i)z=(33i)(x+yi)=3x+3yi3xi3yi2=3x+3y+(3y3x)i(3-3i)z = (3-3i)(x+yi) = 3x + 3yi - 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3y-3x)i
(3+3i)zˉ=(3+3i)(xyi)=3x3yi+3xi3yi2=3x+3y+(3x3y)i(3+3i)\bar{z} = (3+3i)(x-yi) = 3x - 3yi + 3xi - 3yi^2 = 3x + 3y + (3x-3y)i
したがって、(33i)z+(3+3i)zˉ=(3x+3y+(3y3x)i)+(3x+3y+(3x3y)i)=6x+6y(3-3i)z + (3+3i)\bar{z} = (3x + 3y + (3y-3x)i) + (3x + 3y + (3x-3y)i) = 6x + 6y
与えられた式にこれらの結果を代入すると、
zzˉ+(33i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+y2+6x+6y+2z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2
zzˉ+(33i)z+(3+3i)zˉ+2=x2+6x+y2+6y+2=(x2+6x+9)+(y2+6y+9)+299=(x+3)2+(y+3)216z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) + 2 - 9 - 9 = (x+3)^2 + (y+3)^2 -16
しかし、問題文の指示から最終的な値を定めることができないため、
x2+y2+6x+6y+2x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2
が、答えとなります。

3. 最終的な答え

x2+y2+6x+6y+2x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2

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