袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードが1枚ずつ合計4枚入っている。この袋から1枚のカードを取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。k回目(k = 1, 2, 3, ...)に取り出したカードに書かれた数を$a_k$とし、$S_n = a_1a_2a_3...a_{n-1} + a_n$ (n = 2, 3, 4, ...)と定める。 (1) $S_2 = 0$となる確率、$S_2 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。 (2) $S_4 = 0$となる確率、$S_4 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。 (3) nを3以上の整数とする。$S_n = 6$となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に0, 1, 2, 3と書かれたカードが1枚ずつ合計4枚入っている。この袋から1枚のカードを取り出し、数字を確認して元に戻すことを繰り返す。k回目(k = 1, 2, 3, ...)に取り出したカードに書かれた数を$a_k$とし、$S_n = a_1a_2a_3...a_{n-1} + a_n$ (n = 2, 3, 4, ...)と定める。

(1) $S_2 = 0$となる確率、$S_2 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) $S_4 = 0$となる確率、$S_4 = 2$となる確率をそれぞれ求めよ。

(3) nを3以上の整数とする。$S_n = 6$となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_2 = a_1 + a_2$

$S_2 = 0$となるのは、$a_1 = 0$ かつ $a_2 = 0$ のときのみ。$a_1 = 0$となる確率は$1/4$, $a_2 = 0$となる確率は$1/4$。したがって、$S_2 = 0$となる確率は$(1/4) \times (1/4) = 1/16$。

$S_2 = 2$となるのは、$a_1 + a_2 = 2$となるとき。これは、$(a_1, a_2) = (0, 2), (1, 1), (2, 0)$のいずれかである。それぞれの確率は$(1/4)\times(1/4), (1/4)\times(1/4), (1/4)\times(1/4)$なので、$S_2 = 2$となる確率は$(1/16) + (1/16) + (1/16) = 3/16$。

(2)

$S_4 = a_1a_2a_3 + a_4$

$S_4 = 0$となるのは、$a_1a_2a_3 = 0$ かつ $a_4 = 0$のとき。$a_1a_2a_3 = 0$となるのは、$a_1, a_2, a_3$の少なくとも1つが0のとき。$a_1, a_2, a_3$がすべて0でない確率は$(3/4)^3 = 27/64$なので、$a_1a_2a_3 = 0$となる確率は$1 - 27/64 = 37/64$。$a_4 = 0$となる確率は$1/4$。したがって、$S_4 = 0$となる確率は$(37/64) \times (1/4) = 37/256$。

$S_4 = 2$となるのは、$a_1a_2a_3 + a_4 = 2$のとき。

$a_4 = 0$のとき、$a_1a_2a_3 = 2$。$a_1a_2a_3 = 2$となるのは$(a_1, a_2, a_3)$の並び替えで、(1,1,2)の場合に限られる。よって確率は$3!/2!=3 (1/4)^3 = 3/64$。$a_4 = 1$のとき、$a_1a_2a_3 = 1$。$a_1a_2a_3 = 1$となるのは$(a_1, a_2, a_3)$がすべて1の場合に限られる。よって確率は$(1/4)^3=1/64$。$a_4 = 2$のとき、$a_1a_2a_3 = 0$。この確率は $(37/64) \times (1/4) = 37/256$。$a_4 = 3$のとき、$a_1a_2a_3 = -1$となり得ない。したがって、$S_4 = 2$となる確率は$3(1/4)^3+(1/4)^3+(37/64)(1/4)= \frac{12+4+37}{256}=46/256=23/128$

$S_4=2$となる確率は$((3/64)\times(1/4))+((1/64)\times(1/4))+((37/64)\times(1/4))= (3+1+37)/256 = 41/256$

(3)

$S_n = a_1a_2...a_{n-1} + a_n = 6$

$a_1a_2...a_{n-1}$は0, 1, 2, 3のいずれかの積であるから、整数である。また、$a_n$は0, 1, 2, 3のいずれかである。

$a_1a_2...a_{n-1} = 6 - a_n$

$n \ge 3$であるから、$a_1a_2...a_{n-1}$ は0から$3^{n-1}$の間の値をとりうる。

$6 - a_n$の値は$6 - 0 = 6$, $6 - 1 = 5$, $6 - 2 = 4$, $6 - 3 = 3$。

$a_1a_2...a_{n-1} = 3$となるとき、各$a_i$は1または3。1が$n-2$個, 3が1個である必要がある。確率は$(1/4)^{n-2} (1/4) (n-1) = \frac{n-1}{4^{n-1}}$.

$a_1a_2...a_{n-1} = 4$となるとき、各$a_i$は1または2または4。1が$n-2$個, 2が1個, 2が1個か、1が$n-2$個, 4が1個となる。前者は $(n-1)(n-2)/2 (1/4)^{n-2} (1/4)(1/4)$. 後者は$(n-1)(1/4)(1/4)^{n-1}$となるので、確率は0。

3. 最終的な答え

(1) $S_2 = 0$となる確率: $1/16$

$S_2 = 2$となる確率: $3/16$

(2) $S_4 = 0$となる確率: $37/256$

$S_4 = 2$となる確率: $41/256$

(3) $S_n = 6$となる確率: $\frac{n-1}{4^{n-1}}$