与えられた関数 $F(\alpha, \beta)$ があり、その対数 $\log F(\alpha, \beta)$ を最大にする $\alpha$ と $\beta$ を求める問題です。関数 $F(\alpha, \beta)$ は、平均 $\alpha$、分散 $\beta$ の正規分布に従う $n$ 個の独立な確率変数の確率密度関数の積の形をしています。 $F(\alpha, \beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\beta}} \exp \left(-\frac{1}{2\beta}(x_i - \alpha)^2\right)$ ここで、$x_i$ は $i$ 番目の実数値、そして $n$ は自然数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $F(\alpha, \beta)$ があり、その対数 $\log F(\alpha, \beta)$ を最大にする $\alpha$ と $\beta$ を求める問題です。関数 $F(\alpha, \beta)$ は、平均 $\alpha$、分散 $\beta$ の正規分布に従う $n$ 個の独立な確率変数の確率密度関数の積の形をしています。

$F(\alpha, \beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\beta}} \exp \left(-\frac{1}{2\beta}(x_i - \alpha)^2\right)$

ここで、$x_i$ は $i$ 番目の実数値、そして $n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

$\log F(\alpha, \beta)$ を最大化するために、まず対数を取り、$\alpha$ と $\beta$ について偏微分し、それぞれの偏微分が0になる点を求めます。

ステップ1: 対数をとる。

$\log F(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n} \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\beta}} \exp \left(-\frac{1}{2\beta}(x_i - \alpha)^2\right)\right)$

$\log F(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n} \left[ -\frac{1}{2} \log(2\pi\beta) - \frac{1}{2\beta}(x_i - \alpha)^2 \right]$

$\log F(\alpha, \beta) = -\frac{n}{2} \log(2\pi\beta) - \frac{1}{2\beta} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2$

ステップ2: $\alpha$ で偏微分する。

$\frac{\partial}{\partial \alpha} \log F(\alpha, \beta) = -\frac{1}{2\beta} \sum_{i=1}^{n} 2(x_i - \alpha)(-1)$

$\frac{\partial}{\partial \alpha} \log F(\alpha, \beta) = \frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)$

$\frac{\partial}{\partial \alpha} \log F(\alpha, \beta) = 0$ となる $\alpha$ を求める。

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha) = 0$

$\sum_{i=1}^{n} x_i - n\alpha = 0$

$n\alpha = \sum_{i=1}^{n} x_i$

$\alpha = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

ステップ3: $\beta$ で偏微分する。

$\frac{\partial}{\partial \beta} \log F(\alpha, \beta) = -\frac{n}{2} \frac{1}{\beta} + \frac{1}{2\beta^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2$

$\frac{\partial}{\partial \beta} \log F(\alpha, \beta) = 0$ となる $\beta$ を求める。

$-\frac{n}{2\beta} + \frac{1}{2\beta^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2 = 0$

$\frac{1}{2\beta^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2 = \frac{n}{2\beta}$

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2 = n\beta$

$\beta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \alpha)^2$

ステップ4: 求めた $\alpha$ を $\beta$ の式に代入する。

$\alpha = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}$ (標本平均)

$\beta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ (標本分散)

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

$\beta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i)^2$