1から4までの4つの箱に、白い球、青い球、赤い球をそれぞれ1つずつ入れる。ただし、各箱には同じ色の球を複数入れても良い。このとき、球の入れ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

1から4までの4つの箱に、白い球、青い球、赤い球をそれぞれ1つずつ入れる。ただし、各箱には同じ色の球を複数入れても良い。このとき、球の入れ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は重複組み合わせの問題として考えることができます。

4つの箱に3種類の球を入れるという状況は、3種類の球を4つの箱に重複を許して入れる組み合わせの数と考えることができます。

具体的には、白い球を$x_1$個、青い球を$x_2$個、赤い球を$x_3$個入れるとします。ここで、$x_1$, $x_2$, $x_3$は非負の整数です。

このとき、合計の球の数は4つなので、$x_1 + x_2 + x_3 = 4$となります。

この式を満たす非負整数の組$(x_1, x_2, x_3)$の数が、球の入れ方の総数に等しくなります。

重複組み合わせの公式を用いると、

$_{n}H_{r} = \binom{n+r-1}{r}$

ここで、$n$は球の種類(3種類)、$r$は箱の数と考えると、$r = 4$です。

したがって、$n=3$，$r=4$を代入すると

$_{3}H_{4} = \binom{3+4-1}{4} = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、球の入れ方は15通りです。

3. 最終的な答え

15通り