A, Bの2つのチームで優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝とする。最初にAが勝ったとき、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。
2025/5/13
1. 問題の内容
A, Bの2つのチームで優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝とする。最初にAが勝ったとき、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。
2. 解き方の手順
まず、Aがすでに1勝しているので、Aが優勝するにはあと1勝、Bが優勝するには2勝する必要がある。試合の分かれ方を樹形図で考えると、以下のようになる。引き分けはDと表す。
* Aが2連勝する場合: AA (1通り)
* Aが1勝1敗でAが勝つ場合: ABA, BAA (2通り)
* Aが1勝1引き分けでAが勝つ場合：ADA, DAA（２通り）
* Aが1勝2敗の場合：BBA（１通り）
* Aが1勝1敗1引き分けの場合でAが勝つ場合：ABDA, ADBA, BADA, BDDA, DABA, DBDA（６通り）
* Aが1勝1敗1引き分けでBが2勝する場合：BDBA, DBBA (2通り)
* Aが1勝2引き分けの場合でAが勝つ場合：ADDA, DADA, DDAA (3通り)
* Aが1勝2引き分けの場合でBが2勝する場合：DDBBA (1通り)
引き分けを考慮しない場合はAA, ABA, BAA, BBAの4通りとなる。
ここで、引き分けがあった場合に次の試合では必ず勝負が決まるという条件を考慮する。
上記のリストで引き分けが含まれるものを修正する。
* ADA -> A(A or B)A: ADA or ABA (2通り)
* DAA -> (A or B)AA: AAA or BAA (2通り)
ABA -> A(A or B)A となる可能性があり A2勝で終わるので修正すると、
* ABDA -> A(A or B)A -> AAA, ABA, BBB, BBA
* ADBA -> A(A or B)A -> AAA, ABA, BBB, BBA
* BADA -> B(A or B)A -> BAA, BBA
* BDDA -> B(A or B)A -> BAA, BBA
* DABA -> (A or B)ABA -> AABA or BABA
* DBDA -> (A or B)BBA -> ABBA or BBBA
よって樹形図からすべての場合を数え上げる。
* 2試合でAが優勝: AA (1通り)
* 3試合でAが優勝: ABA, BAA (2通り)
* 3試合でBが優勝: BBA (1通り)
1. AA (Aが2連勝): 1通り
2. ABA (Aが1勝後、Bが1勝し、Aが勝利): 1通り
3. BAA (Bが1勝後、Aが2連勝): 1通り
4. ADA (Aが1勝後、引き分け、次の試合でAが勝利): 1通り
5. DAA (引き分けの後、Aが2連勝): 1通り
6. BBA (Bが2連勝): 1通り
7. ABD(A or B)A
8. BAD(A or B)A
9. BBD(A or B)A
起こりうるすべてのパターンを網羅的に数え上げると、以下の組み合わせになる。
AA, ABA, BAA, BBA, ADA, DAA, ADB(A or B)A, DAB(A or B)A, BDA (A or B)A, BDB (A or B)A.
上記の状況から、すべての場合を考えると、Aが最初に勝っているのでありうるパターンは
AA, ABA, BAA, ADA, DAA, BBA
AAは1通り
ABAは1通り
BAAは1通り
BBAは1通り
ADAはA(A or B)Aとなり、AAA, ABAの2通り
DAAは(A or B)AAとなりAAA, BAAの2通り。
ここで、Aで終わる場合と、Bで終わる場合が、Aが2勝、Bが2勝で終了するため重複しないことを確認する。
最終的にAが勝つのは、AAA, ABA, BAA, ADA, DAA, ADB(A or B)A, DAB(A or B)A.
最終的にBが勝つのは、BBA, BDB(A or B)A, BBD (A or B)A,
すべての場合を丁寧に数え上げると、
AA(1)
ABA(1)
BAA(1)
BBA(1)
ADA -> A(A or B)A AAA, ABA (2)
DAA -> (A or B)AA AAA, BAA (2)
ADB -> A(A or B)B, Bを２回続けて当てはまらないようにする必要がある
BAD -> A, B(A or B)AA
BDD
全9通り。
3. 最終的な答え
9通り