(1) 白玉2個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてからもとに戻す。この試行を6回続けて行うとき、 (i) 白玉が5回以上出る確率 (ii) 6回目に3度目の白玉が出る確率 (2) 白玉6個、赤玉4個が入っている袋から玉1個取り出し、色を調べてからもとに戻す。この試行を5回続けて行うとき、 (i) 白玉が4回以上出る確率 (ii) 5回目に2度目の白玉が出る確率

1. 問題の内容

(1) 白玉2個、赤玉4個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を調べてからもとに戻す。この試行を6回続けて行うとき、

(i) 白玉が5回以上出る確率

(ii) 6回目に3度目の白玉が出る確率

(2) 白玉6個、赤玉4個が入っている袋から玉1個取り出し、色を調べてからもとに戻す。この試行を5回続けて行うとき、

(i) 白玉が4回以上出る確率

(ii) 5回目に2度目の白玉が出る確率

2. 解き方の手順

(1)

(i) 白玉が出る確率は $2/6 = 1/3$。6回の試行で白玉が5回以上出る確率は、5回出る場合と6回出る場合の確率の和である。

5回出る確率: $_6C_5 (1/3)^5 (2/3)^1 = 6 \cdot (1/243) \cdot (2/3) = 12/729 = 4/243$

6回出る確率: $_6C_6 (1/3)^6 (2/3)^0 = 1 \cdot (1/729) \cdot 1 = 1/729$

したがって、確率は $4/243 + 1/729 = 12/729 + 1/729 = 13/729$

(ii) 6回目に3度目の白玉が出るということは、5回目までに白玉が2回出ていて、6回目に白玉が出ることである。

5回目までに白玉が2回出る確率: $_5C_2 (1/3)^2 (2/3)^3 = 10 \cdot (1/9) \cdot (8/27) = 80/243$

6回目に白玉が出る確率: $1/3$

したがって、確率は $(80/243) \cdot (1/3) = 80/729$

(2)

(i) 白玉が出る確率は $6/10 = 3/5$。5回の試行で白玉が4回以上出る確率は、4回出る場合と5回出る場合の確率の和である。

4回出る確率: $_5C_4 (3/5)^4 (2/5)^1 = 5 \cdot (81/625) \cdot (2/5) = 810/3125 = 162/625$

5回出る確率: $_5C_5 (3/5)^5 (2/5)^0 = 1 \cdot (243/3125) \cdot 1 = 243/3125$

したがって、確率は $162/625 + 243/3125 = 810/3125 + 243/3125 = 1053/3125$

(ii) 5回目に2度目の白玉が出るということは、4回目までに白玉が1回出ていて、5回目に白玉が出ることである。

4回目までに白玉が1回出る確率: $_4C_1 (3/5)^1 (2/5)^3 = 4 \cdot (3/5) \cdot (8/125) = 96/625$

5回目に白玉が出る確率: $3/5$

したがって、確率は $(96/625) \cdot (3/5) = 288/3125$

3. 最終的な答え

(1) (i) $13/729$

(ii) $80/729$

(2) (i) $1053/3125$

(ii) $288/3125$