8人を以下のように分ける場合の数を求める問題です。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける。 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける。

1. 問題の内容

8人を以下のように分ける場合の数を求める問題です。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける。

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つの組に分ける場合

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ方法は $_8 C_2$ 通り。

次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選ぶ方法は $_6 C_2$ 通り。

さらに、残りの4人からCの組に入れる2人を選ぶ方法は $_4 C_2$ 通り。

最後に、残りの2人からDの組に入れる2人を選ぶ方法は $_2 C_2$ 通り。

したがって、場合の数は

$_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2$

$= \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}$

$= \frac{8 \times 7}{2} \times \frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2} \times 1$

$= 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

まず、8人から2人を選ぶ方法は $_8 C_2$ 通り。

次に、残りの6人から2人を選ぶ方法は $_6 C_2$ 通り。

さらに、残りの4人から2人を選ぶ方法は $_4 C_2$ 通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ方法は $_2 C_2$ 通り。

この方法だと、組に名前がないため、同じ組み合わせが重複して数えられています。

4つの組の並び順（4!通り）を考慮しないといけません。

したがって、場合の数は

$\frac{_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2}{4!}$

$= \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り