四面体のサイコロ（1から4の目が出る）と六面体のサイコロ（1から6の目が出る）を同時に投げます。それぞれのサイコロの目を $1 \sim 4$, $1 \sim 6$ とします。以下の確率を求めます。 (a) 目の積が6の倍数になる確率 (b) 一方の目がもう一方の目で割り切れる確率 (c) 目の和が素数になる確率

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

四面体のサイコロ（1から4の目が出る）と六面体のサイコロ（1から6の目が出る）を同時に投げます。それぞれのサイコロの目を $1 \sim 4$, $1 \sim 6$ とします。以下の確率を求めます。

(a) 目の積が6の倍数になる確率

(b) 一方の目がもう一方の目で割り切れる確率

(c) 目の和が素数になる確率

2. 解き方の手順

(a) 目の積が6の倍数になる確率

全事象は $4 \times 6 = 24$ 通りです。

積が6の倍数になるのは以下のパターンです。

* 四面体のサイコロの目が1の場合：六面体のサイコロの目が6の時

* 四面体のサイコロの目が2の場合：六面体のサイコロの目が3, 6の時

* 四面体のサイコロの目が3の場合：六面体のサイコロの目が2, 4, 6の時

* 四面体のサイコロの目が4の場合：六面体のサイコロの目が3, 6の時

したがって、積が6の倍数になるのは $1 + 2 + 3 + 2 = 8$ 通りです。

よって、確率は $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ です。

(b) 一方の目がもう一方の目で割り切れる確率

全事象は $4 \times 6 = 24$ 通りです。

一方の目がもう一方の目で割り切れるのは以下のパターンです。

* 四面体のサイコロの目が1の場合：六面体のサイコロの目は何でも良い (6通り)

* 四面体のサイコロの目が2の場合：六面体のサイコロの目は1, 2, 4, 6 (4通り)

* 四面体のサイコロの目が3の場合：六面体のサイコロの目は1, 3 (2通り)

* 四面体のサイコロの目が4の場合：六面体のサイコロの目は1, 2, 4 (3通り)

* 六面体のサイコロの目が1の場合：四面体のサイコロの目は何でも良い（すでにカウント済み）

* 六面体のサイコロの目が2の場合：四面体のサイコロの目は1, 2 （すでにカウント済み）

* 六面体のサイコロの目が3の場合：四面体のサイコロの目は1, 3 （すでにカウント済み）

* 六面体のサイコロの目が4の場合：四面体のサイコロの目は1, 2, 4 （すでにカウント済み）

* 六面体のサイコロの目が5の場合：四面体のサイコロの目は1 （すでにカウント済み）

* 六面体のサイコロの目が6の場合：四面体のサイコロの目は1, 2, 3 （未カウント）

六面体のサイコロの目が6の場合の未カウントの3通りのうち、四面体のサイコロの目が1, 2はすでにカウント済のため、四面体のサイコロの目が3の場合のみを考慮すれば良い。

よって、割り切れるのは $6 + 4 + 2 + 3 = 15$ 通りです。

ただし、重複して数えている場合があるので確認します。

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) は 6通り

(2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6) は 4通り

(3, 1), (3, 3) は 2通り

(4, 1), (4, 2), (4, 4) は 3通り

(3, 6) は 1通り

合計 16通り

よって、確率は $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ です。

(c) 目の和が素数になる確率

全事象は $4 \times 6 = 24$ 通りです。

和が素数になるのは、和が2, 3, 5, 7, 11の場合です。

それぞれの組み合わせは以下の通りです。

* 和が2: なし

* 和が3: (1, 2), (2, 1) -> (1, 2) のみ

* 和が5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

* 和が7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3)

* 和が11: (4, 7) -> (5,6), (6,5) ->　(5,6)はありえない。(4,7)はありえない。

該当する組み合わせは

(1,2)

(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3)

和が素数になるのは $1 + 4 + 4 = 9$ 通りです。

よって、確率は $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ です。

3. 最終的な答え

(a) 目の積が6の倍数になる確率は $\frac{1}{3}$ です。

(b) 一方の目がもう一方の目で割り切れる確率は $\frac{2}{3}$ です。

(c) 目の和が素数になる確率は $\frac{3}{8}$ です。