A, Bの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところで止めるゲームを考える。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ方は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

A, Bの2人がじゃんけんをして、どちらかが3回先に勝ったところで止めるゲームを考える。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

どちらかが3回勝つまでに行われるじゃんけんの回数は3回、4回、5回のいずれかです。

* 3回の場合: Aが3連勝するか、Bが3連勝するかの2通りです。

* 4回の場合: 3回目までにどちらかが2勝し、4回目に残りの人が勝つ必要があります。Aが勝つ場合とBが勝つ場合があるので、それぞれの場合について考えます。

* Aが勝つ場合: 3回目までにAが2勝し、Bが1勝する必要があります。その組み合わせは、${}_3C_2 = 3$通りです。

* Bが勝つ場合: 3回目までにBが2勝し、Aが1勝する必要があります。その組み合わせは、${}_3C_2 = 3$通りです。

したがって、4回で決着がつくのは$3+3 = 6$通りです。

* 5回の場合: 4回目までにどちらかが2勝し、5回目に残りの人が勝つ必要があります。Aが勝つ場合とBが勝つ場合があるので、それぞれの場合について考えます。

* Aが勝つ場合: 4回目までにAが2勝し、Bが2勝する必要があります。その組み合わせは、${}_4C_2 = 6$通りです。

* Bが勝つ場合: 4回目までにBが2勝し、Aが2勝する必要があります。その組み合わせは、${}_4C_2 = 6$通りです。

したがって、5回で決着がつくのは$6+6 = 12$通りです。

したがって、合計で$2 + 6 + 12 = 20$通りです。

3. 最終的な答え

20通り