大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、(1)大人3人が続いて並ぶ場合は何通りあるか。(5) どの大人も隣り合わない場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、(1)大人3人が続いて並ぶ場合は何通りあるか。(5) どの大人も隣り合わない場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 大人3人をひとまとめにして1つのグループと考え、子供5人と合わせて6人（またはグループ）を並べる順列を求める。次に、大人3人のグループ内での並び順を考慮する。

まず、6人（またはグループ）の並び方は $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通り。

次に、大人3人のグループ内での並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、大人3人が続いて並ぶ場合の総数は、

$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 通り。

(5) 大人3人が隣り合わないように並べる場合を考える。

まず子供5人を並べる順列を求める。

子供5人の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

次に、子供5人の間にできる6つの隙間(両端含む)から3つを選んで、大人を1人ずつ配置する。

隙間の選び方は ${}_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

したがって、大人3人が隣り合わない場合の総数は、

$5! \times {}_6 P_3 = 120 \times 120 = 14400$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 4320通り

(5) 14400通り