複素数 $z$ に関する方程式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z\bar{z} + (3-3i)z + (3+3i)\bar{z} + 2 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおきます。すると、$\bar{z} = x - yi$ となります。

これを元の方程式に代入すると、

$(x+yi)(x-yi) + (3-3i)(x+yi) + (3+3i)(x-yi) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + (3x + 3yi - 3xi + 3y) + (3x - 3yi + 3xi + 3y) + 2 = 0$

$x^2 + y^2 + 6x + 6y + 2 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 6y) + 2 = 0$

平方完成を行うために、各カッコ内に必要な数を足し引きします。

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 2 = 0$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 - 16 = 0$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16$

これは、中心が $(-3, -3)$ で半径が $4$ の円を表します。

したがって、$z = x + yi$ は、$|z + 3 + 3i| = 4$ を満たす複素数です。

3. 最終的な答え

$|z + 3 + 3i| = 4$