$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6}) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6}) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を実行します。

$\sin(ax + b)$ の積分は $-\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$ です。

したがって、

$\int \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6}) dt = -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6}) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6}) dt = [-\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi t + \frac{\pi}{6})]_{1}^{2}$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi (2) + \frac{\pi}{6}) - (-\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2}{3}\pi (1) + \frac{\pi}{6}))$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6})$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{9\pi}{6}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{5\pi}{6})$

$= -\frac{3}{2\pi} \cos(\frac{3\pi}{2}) + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{5\pi}{6})$

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ なので、

$= -\frac{3}{2\pi} \cdot 0 + \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{5\pi}{6})$

$= \frac{3}{2\pi} \cos(\frac{5\pi}{6})$

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$= \frac{3}{2\pi} (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= -\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$