対数微分法を用いて、以下の関数を微分する。 (1) $y = x^{x^2}$ ($x > 0$) (2) $y = \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4}$

1. 問題の内容

対数微分法を用いて、以下の関数を微分する。

(1) $y = x^{x^2}$ ($x > 0$)

(2) $y = \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{x^2}$ の場合：

両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln (x^{x^2}) = x^2 \ln x$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$

$\frac{dy}{dx} = y (2x \ln x + x) = x^{x^2} (2x \ln x + x) = x^{x^2} x (2 \ln x + 1) = x^{x^2 + 1}(2\ln x + 1)$

(2) $y = \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4}$ の場合：

両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4} = \ln (x-1)^2 + \ln (x+2)^3 - \ln (x+1)^4 = 2 \ln (x-1) + 3 \ln (x+2) - 4 \ln (x+1)$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+1}\right) = \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4} \left(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+1}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)^2(x+2)^3}{(x+1)^4} \left(\frac{2(x+2)(x+1) + 3(x-1)(x+1) - 4(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^5} [2(x^2 + 3x + 2) + 3(x^2 - 1) - 4(x^2 + x - 2)]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^5} [2x^2 + 6x + 4 + 3x^2 - 3 - 4x^2 - 4x + 8]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^5} [x^2 + 2x + 9]$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{x^2+1} (2 \ln x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x+2)^2(x^2+2x+9)}{(x+1)^5}$