関数 $y = e^{-x^2}$ を2回微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x^2}$ を2回微分してください。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x^2}$ を1回微分します。

合成関数の微分を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

次に、$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}$ をもう一度微分します。

積の微分と合成関数の微分を使うと、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-2xe^{-x^2}) = -2\frac{d}{dx}(xe^{-x^2}) = -2\left(\frac{d}{dx}(x) \cdot e^{-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x^2})\right)$

$= -2\left(1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2xe^{-x^2})\right) = -2\left(e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}\right) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2}$

$= (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$