問題は、与えられた複素関数 $f(z)$ が正則であるかどうかを、コーシー・リーマンの関係式を用いて判定し、正則な場合は導関数 $f'(z)$ を求めるというものです。ここで、$z = x + iy$ です。与えられた関数は以下の3つです。 (1) $f(z) = \exp(2iz)$ (2) $f(z) = \exp(2z)$ (3) $f(z) = \cos(2iz)$

1. 問題の内容

問題は、与えられた複素関数 $f(z)$ が正則であるかどうかを、コーシー・リーマンの関係式を用いて判定し、正則な場合は導関数 $f'(z)$ を求めるというものです。ここで、$z = x + iy$ です。与えられた関数は以下の3つです。

(1) $f(z) = \exp(2iz)$

(2) $f(z) = \exp(2z)$

(3) $f(z) = \cos(2iz)$

2. 解き方の手順

コーシー・リーマンの関係式を使うために、関数 $f(z)$ を $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ の形に書き、以下の関係式が成り立つかどうかを調べます。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

もしこの関係式が成り立つならば、$f(z)$ は正則であり、導関数は以下のいずれかで計算できます。

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$

(1) $f(z) = \exp(2iz) = \exp(2i(x+iy)) = \exp(-2y + 2ix) = e^{-2y}\cos(2x) + ie^{-2y}\sin(2x)$

$u(x, y) = e^{-2y}\cos(2x)$, $v(x, y) = e^{-2y}\sin(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = -2e^{-2y}\sin(2x)$, $\frac{\partial v}{\partial y} = -2e^{-2y}\sin(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2e^{-2y}\cos(2x)$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 2e^{-2y}\cos(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ が成り立ち、$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ も成り立ちます。したがって、$f(z)$ は正則です。

$f'(z) = -2e^{-2y}\sin(2x) + i2e^{-2y}\cos(2x) = 2i(e^{-2y}\cos(2x) + ie^{-2y}\sin(2x)) = 2i\exp(2iz)$

(2) $f(z) = \exp(2z) = \exp(2(x+iy)) = \exp(2x + 2iy) = e^{2x}\cos(2y) + ie^{2x}\sin(2y)$

$u(x, y) = e^{2x}\cos(2y)$, $v(x, y) = e^{2x}\sin(2y)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(2y)$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 2e^{2x}\cos(2y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2e^{2x}\sin(2y)$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 2e^{2x}\sin(2y)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ が成り立ち、$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ も成り立ちます。したがって、$f(z)$ は正則です。

$f'(z) = 2e^{2x}\cos(2y) + i2e^{2x}\sin(2y) = 2(e^{2x}\cos(2y) + ie^{2x}\sin(2y)) = 2\exp(2z)$

(3) $f(z) = \cos(2iz) = \cos(2i(x+iy)) = \cos(-2y + 2ix) = \cos(-2y)\cosh(2x) - i\sin(-2y)\sinh(2x) = \cos(2y)\cosh(2x) + i\sin(2y)\sinh(2x)$

$u(x, y) = \cos(2y)\cosh(2x)$, $v(x, y) = \sin(2y)\sinh(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2\cos(2y)\sinh(2x)$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 2\cos(2y)\sinh(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -2\sin(2y)\cosh(2x)$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 2\sin(2y)\cosh(2x)$

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ が成り立ち、$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ も成り立ちます。したがって、$f(z)$ は正則です。

$f'(z) = 2\cos(2y)\sinh(2x) + i2\sin(2y)\cosh(2x) = 2\sinh(2x)\cos(2y) + i2\cosh(2x)\sin(2y) = 2i\sin(2iz)$

3. 最終的な答え

(1) $f(z) = \exp(2iz)$ は正則であり、$f'(z) = 2i\exp(2iz)$

(2) $f(z) = \exp(2z)$ は正則であり、$f'(z) = 2\exp(2z)$

(3) $f(z) = \cos(2iz)$ は正則であり、$f'(z) = 2i\sin(2iz)$