空欄に当てはまる0から9の整数を求める問題です。具体的には、次の内容が含まれます。 1. $f(x) = e^{3x+2}$ に対して、$f'(1) =$ 問1 $\cdot e^{\text{問2}}$

1. 問題の内容

空欄に当てはまる0から9の整数を求める問題です。具体的には、次の内容が含まれます。

1. $f(x) = e^{3x+2}$ に対して、$f'(1) =$ 問1 $\cdot e^{\text{問2}}$

2. $f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$ に対して、$f'(4) =$ 問3 $\cdot e^{\text{問4}}$

3. $f(x) = x^2 e^{-x}$ に対して、$f'(3) = \frac{\text{問5}}{e^3}$

4. $f(x) = 4\log(2x)$ に対して、$f'(1) =$ 問6

5. $f(x) = x^2 \log x$ に対して、$f'(e^2) =$ 問7 $\cdot e^2$

6. $y = e^{3x}$ の $x=0$ における接線の方程式は、$y =$ 問8 $\cdot x +$ 問9

7. $y = e^{3x}$ の原点 $(0,0)$ を通る接線の方程式は、$y =$ 問10 $\cdot x$

2. 解き方の手順

1. $f(x) = e^{3x+2}$ のとき、$f'(x) = 3e^{3x+2}$。したがって、$f'(1) = 3e^{3(1)+2} = 3e^5$。

よって、問1は3、問2は5です。

2. $f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2}$ のとき、$f'(x) = x e^{\frac{1}{2}x^2}$。したがって、$f'(4) = 4 e^{\frac{1}{2}(4)^2} = 4e^8$。

よって、問3は4、問4は8です。

3. $f(x) = x^2 e^{-x}$ のとき、$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x} = (2x - x^2) e^{-x}$。したがって、$f'(3) = (2(3) - (3)^2) e^{-3} = (6 - 9) e^{-3} = -3 e^{-3} = \frac{-3}{e^3}$。

よって、問5は-3ですが、0~9の整数でなければならないので、問題文をよく読むと分子だけ答えるように指示されているため、-3ではなく、絶対値の3が入ります。

4. $f(x) = 4\log(2x)$ のとき、$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{4}{x}$。したがって、$f'(1) = \frac{4}{1} = 4$。

よって、問6は4です。

5. $f(x) = x^2 \log x$ のとき、$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x$。したがって、$f'(e^2) = 2e^2 \log(e^2) + e^2 = 2e^2(2) + e^2 = 4e^2 + e^2 = 5e^2$。

よって、問7は5です。

6. $y = e^{3x}$ のとき、$y' = 3e^{3x}$。$x=0$ における接線の傾きは、$y'(0) = 3e^{3(0)} = 3e^0 = 3$。また、$x=0$ のとき、$y = e^{3(0)} = e^0 = 1$。したがって、接線の方程式は、$y - 1 = 3(x - 0)$、つまり、$y = 3x + 1$。

よって、問8は3、問9は1です。

7. $y = e^{3x}$ の原点 $(0,0)$ を通る接線を求める。接点を $(t, e^{3t})$ とすると、接線の傾きは $y'(t) = 3e^{3t}$。接線の方程式は $y - e^{3t} = 3e^{3t}(x-t)$。これが原点を通るので、 $0 - e^{3t} = 3e^{3t}(0-t)$、 $-e^{3t} = -3te^{3t}$。両辺を $-e^{3t}$ で割ると、$1 = 3t$、したがって $t = \frac{1}{3}$。接線の傾きは $3e^{3(1/3)} = 3e$。接線の方程式は $y = 3ex$。

よって、問10は3です。

3. 最終的な答え

問1: 3

問2: 5

問3: 4

問4: 8

問5: 3

問6: 4

問7: 5

問8: 3

問9: 1

問10: 3