問題21は対数の値を求める問題、問題22と23は関数の微分を求める問題です。問題21は(1) $\log e^2$, (2) $\log \frac{1}{e^3}$, (3) $\log \frac{1}{\sqrt{e}}$ の値を計算します。問題22は(1) $y = x^2 \log x$, (2) $y = \log(4x + 3)$, (3) $y = \log(-2x)$ を微分します。問題23は(1) $y = 3^x$, (2) $y = (\frac{1}{2})^x$ を微分します。

1. 問題の内容

問題21は対数の値を求める問題、問題22と23は関数の微分を求める問題です。問題21は(1) $\log e^2$, (2) $\log \frac{1}{e^3}$, (3) $\log \frac{1}{\sqrt{e}}$ の値を計算します。問題22は(1) $y = x^2 \log x$, (2) $y = \log(4x + 3)$, (3) $y = \log(-2x)$ を微分します。問題23は(1) $y = 3^x$, (2) $y = (\frac{1}{2})^x$ を微分します。

2. 解き方の手順

問題21:

(1) $\log e^2 = 2 \log e = 2 \cdot 1 = 2$

(2) $\log \frac{1}{e^3} = \log e^{-3} = -3 \log e = -3 \cdot 1 = -3$

(3) $\log \frac{1}{\sqrt{e}} = \log e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \log e = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

問題22:

(1) $y = x^2 \log x$ の微分は、積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。$u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ です。したがって、

$y' = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

(2) $y = \log(4x + 3)$ の微分は、合成関数の微分法を用います。$u = 4x + 3$ とすると、$y = \log u$ です。$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = 4$ です。したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{4x + 3} \cdot 4 = \frac{4}{4x + 3}$

(3) $y = \log(-2x)$ の微分は、合成関数の微分法を用います。$u = -2x$ とすると、$y = \log u$ です。$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = -2$ です。したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{1}{x}$

問題23:

(1) $y = 3^x$ の微分は、$y' = 3^x \log 3$

(2) $y = (\frac{1}{2})^x$ の微分は、$y' = (\frac{1}{2})^x \log (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^x (-\log 2) = -(\frac{1}{2})^x \log 2$

3. 最終的な答え

問題21:

(1) 2

(2) -3

(3) $-\frac{1}{2}$

問題22:

(1) $x(2 \log x + 1)$

(2) $\frac{4}{4x + 3}$

(3) $\frac{1}{x}$

問題23:

(1) $3^x \log 3$

(2) $-(\frac{1}{2})^x \log 2$