与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (x-1)e^x$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} (x-1)e^x$

を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくとき、$x-1$ も無限大に近づき、$e^x$ も無限大に近づきます。

したがって、この極限は $\infty \cdot \infty$ の形をしています。

$\infty \cdot \infty$ は明らかに無限大に発散します。

厳密には、

$x>1$のとき、$x-1 > 0$ であり、$e^x > 0$ であるため、$(x-1)e^x > 0$ となります。

$x \to \infty$ のとき、$x-1 \to \infty$ かつ $e^x \to \infty$ であるため、

$(x-1)e^x \to \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\infty$