定積分 $\int_{1}^{2} \sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int \sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) dx$

ここで、置換積分を行います。

$u = \frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$ となり、$dx = \frac{3}{2} du$ となります。

よって、

$\int \sin(u) \cdot \frac{3}{2} du = \frac{3}{2} \int \sin(u) du = \frac{3}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{3}{2} \cos\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) + C$

したがって、不定積分は $-\frac{3}{2} \cos\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \sin\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right) dx = \left[-\frac{3}{2} \cos\left(\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{6}\right)\right]_{1}^{2}$

$= -\frac{3}{2} \left[ \cos\left(\frac{2}{3}(2) + \frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{2}{3}(1) + \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ \cos\left(\frac{4}{3} + \frac{1}{6}\right)\pi - \cos\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)\pi \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ \cos\left(\frac{8}{6} + \frac{1}{6}\right)\pi - \cos\left(\frac{4}{6} + \frac{1}{6}\right)\pi \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ \cos\left(\frac{9}{6}\pi\right) - \cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) - \cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ 0 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right]$

$= -\frac{3}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$

$= -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\sqrt{3}}{4}$