与えられた3つの数列の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の支配的な項である $4^n$ で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{2}{4})^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{1}{2})^n}$

$n \to \infty$ のとき、 $(\frac{5}{4})^n \to \infty$ であり、 $(\frac{1}{2})^n \to 0$ です。

(2) 分母の支配的な項である $3^n$ で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

$n \to \infty$ のとき、 $(\frac{2}{3})^n \to 0$ です。

(3) $2^{2n} = 4^n$ であるので、$\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 4^n\}$ を求めます。

偶数項を考えると、$n=2k$ のとき、 $(-3)^n = (-3)^{2k} = 9^k$ であり、 $4^n = 4^{2k} = 16^k$ なので、$9^k + 16^k \to \infty$ となります。

奇数項を考えると、$n=2k+1$ のとき、 $(-3)^n = (-3)^{2k+1} = -3 \cdot 9^k$ であり、$4^n = 4^{2k+1} = 4 \cdot 16^k$ なので、$-3 \cdot 9^k + 4 \cdot 16^k \to \infty$ となります。

したがって、極限は $\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-1$

(3) $\infty$