与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べます。 (1) $f(x) = x^3 + 2x$ ($x = 0$) (2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ($x = -1$)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が、指定された $x$ の値において連続であるか不連続であるかを調べます。

(1) $f(x) = x^3 + 2x$ ($x = 0$)

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ($x = -1$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + 2x$ ($x = 0$)

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、次の3つの条件が成り立つことです。

1. $f(a)$ が定義されている

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

この問題では、$a = 0$ です。

1. $f(0)$ を計算します。

$f(0) = (0)^3 + 2(0) = 0$

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} (x^3 + 2x) = (0)^3 + 2(0) = 0$

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

したがって、$f(x) = x^3 + 2x$ は $x = 0$ で連続です。

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ($x = -1$)

1. $f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = \frac{|-1|}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$

2. $\lim_{x \to -1} f(x)$ を計算します。

$x \to -1$ のとき、$x$ は負の値なので、$|x| = -x$ となります。

したがって、$f(x) = \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ となります。

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} -1 = -1$

3. $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$ が成り立ちます。

したがって、$f(x) = \frac{|x|}{x}$ は $x = -1$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 + 2x$ は $x=0$ で連続である。

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$ は $x=-1$ で連続である。