関数 $f(x) = x^4 + 4x^3 + 2ax^2$ が極大値と極小値を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 + 4x^3 + 2ax^2$ が極大値と極小値を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。関数が極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 0$ が少なくとも3つの異なる実数解を持つ必要があります。なぜなら、$f'(x)$ の符号が変化する点で極値をとるため、$x^4$ の係数が正であることから、$f(x)$が極大値を持つには少なくとも3つの極値候補点が必要になるからです。

$f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 + 3x + a)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ または $x^2 + 3x + a = 0$ のときです。

$x=0$ が解の一つであるため、$x^2 + 3x + a = 0$ が $x=0$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要があります。

$x^2 + 3x + a = 0$ の判別式 $D = 3^2 - 4a = 9 - 4a$ が $D > 0$ である必要があります。

つまり、$9 - 4a > 0$ より、$a < \frac{9}{4}$ です。

また、$x^2 + 3x + a = 0$ の解が $x=0$ であってはならないため、 $0^2 + 3(0) + a \neq 0$ より、$a \neq 0$ である必要があります。

したがって、$a < \frac{9}{4}$ かつ $a \neq 0$ が条件となります。

3. 最終的な答え

$a < 0, 0 < a < \frac{9}{4}$