1個のサイコロを12回投げたとき、出た目の合計を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを12回投げたとき、出た目の合計を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回のサイコロ投げにおける出目の期待値と分散を計算します。

サイコロの出目は1から6までの整数で、それぞれの出る確率は $\frac{1}{6}$ です。

1回のサイコロ投げの期待値 $E(Y)$ は、次の式で計算できます。

$E(Y) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(Y=i) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

1回のサイコロ投げの分散 $V(Y)$ は、次の式で計算できます。

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2$

$E(Y^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot P(Y=i) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V(Y) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$

$X$は12回のサイコロ投げの出目の合計なので、$X = Y_1 + Y_2 + ... + Y_{12}$と表せます。ここで、$Y_i$ は $i$回目のサイコロ投げの出目を表します。

期待値の線形性より、$E(X) = E(Y_1) + E(Y_2) + ... + E(Y_{12})$ となります。各 $E(Y_i)$ はすべて $\frac{7}{2}$ なので、

$E(X) = 12 \cdot \frac{7}{2} = 6 \cdot 7 = 42$

分散の性質より、$V(X) = V(Y_1) + V(Y_2) + ... + V(Y_{12})$ となります。各 $V(Y_i)$ はすべて $\frac{35}{12}$ なので、

$V(X) = 12 \cdot \frac{35}{12} = 35$

3. 最終的な答え

期待値: $E(X) = 42$

分散: $V(X) = 35$