ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cと表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cと表す。

$n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

包除原理より

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + n(C) - 14 - n(B \cap C) - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 99 - 65 - 40 + 14 + 11 = 19$

写真のベン図を見ると、

$n(C) = 8+5+7+4 = 24$となっている。

$n(A)= 65$, $n(B)= 40$, $n(C)=24$ が求まっている。

(2)

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$ より

$55 = 40 + 24 - n(B \cap C)$

$n(B \cap C) = 40 + 24 - 55 = 9$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$ より

$78 = 24 + 65 - 11$

$\implies n(C)=24$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 99 - 65 - 40 - 24 + 14 + 9 + 11 = 4$

(3)

a大学のみ受験した人は、$65 - (10+7+4) = 44$人

b大学のみ受験した人は、$40 - (10+5+4) = 21$人

c大学のみ受験した人は、$24 - (5+7+4) = 8$人

a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は、 $44+21+8=73$人

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人