大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (1) 大人3人が続いて並ぶ。 (2) 両端が子供である。 (3) 少なくとも一端に大人が来る。 (4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。 (5) どの大人も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(1) 大人3人が続いて並ぶ。

(2) 両端が子供である。

(3) 少なくとも一端に大人が来る。

(4) 大人3人が続いて並び、子供5人も続いて並ぶ。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 大人3人をひとまとめにして考える。すると、大人3人のまとまりと子供5人の合計6つのものを並べることになる。この並べ方は$6!$通り。さらに、大人3人のまとまりの中で、3人の並び方が$3!$通りある。したがって、求める並び方は$3! \times 6!$通り。

(2) 両端に子供が来る並べ方を求める。まず、両端に並べる子供の選び方は$_5P_2 = 5 \times 4 = 20$通り。次に、残りの6人（大人3人と子供3人）の並べ方は$6!$通り。したがって、求める並び方は$20 \times 6!$通り。

(3) 全ての並び方から、どの端にも子供がこない並び方を引く。全ての並び方は$8!$通り。

両端に大人を並べる並べ方は、(2)と同様に考えて、両端に並べる大人の選び方は$_3P_2 = 3 \times 2 = 6$通り。残りの6人(大人1人、子供5人)の並べ方は$6!$通り。したがって、両端に大人を並べる並べ方は$6 \times 6!$通り。

求める並び方は、$8! - 6 \times 6!$通り。

(4) 大人3人をひとまとめ、子供5人をひとまとめにして考える。大人3人のまとまり、子供5人のまとまりの並び方は$2!$通り。大人3人のまとまりの中で、3人の並び方は$3!$通り。子供5人のまとまりの中で、5人の並び方は$5!$通り。したがって、求める並び方は$2! \times 3! \times 5!$通り。

(5) 子供5人をまず一列に並べる。この並べ方は$5!$通り。次に、子供5人の間と両端の合計6か所から3か所を選んで大人を並べる。この選び方は$_6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$通り。したがって、求める並び方は$5! \times _6P_3$通り。

3. 最終的な答え

(1) $3! \times 6! = 6 \times 720 = 4320$通り

(2) $_5P_2 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$通り

(3) $8! - 6 \times 6! = 40320 - 6 \times 720 = 40320 - 4320 = 36000$通り

(4) $2! \times 3! \times 5! = 2 \times 6 \times 120 = 1440$通り

(5) $_6P_3 \times 5! = 120 \times 120 = 14400$通り