問題5は、$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、$b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (1) $a+b$ および $ab$ (2) $a^2+b^2$ および $a^2-b^2$

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

問題5は、$a = \sqrt{6} + \sqrt{3}$、$b = \sqrt{6} - \sqrt{3}$が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(1) $a+b$ および $ab$

(2) $a^2+b^2$ および $a^2-b^2$

2. 解き方の手順

(1) $a+b$ および $ab$ の計算

$a+b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$

$ab = (\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})$

これは和と差の積の形なので、$(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

(2) $a^2 + b^2$ および $a^2 - b^2$ の計算

まず、$a^2 + b^2$ を求めます。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

(1)で$a+b = 2\sqrt{6}$, $ab = 3$と求めたので、

$a^2 + b^2 = (2\sqrt{6})^2 - 2(3) = 4 \times 6 - 6 = 24 - 6 = 18$

次に、$a^2 - b^2$ を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a+b = 2\sqrt{6}$は既に求めてあるので、$a-b$を求める。

$a-b = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

したがって、$a^2 - b^2 = (2\sqrt{6})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b = 2\sqrt{6}$、 $ab = 3$

(2) $a^2 + b^2 = 18$、$a^2 - b^2 = 12\sqrt{2}$