三角形ABCにおいて、AB=4, BC=5, CA=6とする。角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。線分BDの長さ、cosBの値、線分ADの長さをそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, BC=5, CA=6とする。角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。線分BDの長さ、cosBの値、線分ADの長さをそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さを求める。

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 4:6 = 2:3。

BC=5より、BD = (2/(2+3))*5 = (2/5)*5 = 2。

よって、BD = 2。

(2) cosBの値を求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cosB$

$6^2 = 4^2 + 5^2 - 2*4*5*cosB$

$36 = 16 + 25 - 40*cosB$

$36 = 41 - 40*cosB$

$40*cosB = 41 - 36$

$40*cosB = 5$

$cosB = 5/40 = 1/8$

(3) 線分ADの長さを求める。

三角形ABDにおいて、余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2*AB*BD*cosB$

$AD^2 = 4^2 + 2^2 - 2*4*2*(1/8)$

$AD^2 = 16 + 4 - 2$

$AD^2 = 18$

$AD = \sqrt{18} = \sqrt{9*2} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

BDの長さは 2。

cosBの値は 1/8。

ADの長さは $3\sqrt{2}$。