三角形ABCにおいて、$|AB|=1$, $|AC|=2$, $|BC|=\sqrt{6}$であるとする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めよ。 (2) $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ (s, tは実数)とするとき、線分APが三角形ABCの外接円の直径となるようにs, tの値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$|AB|=1$, $|AC|=2$, $|BC|=\sqrt{6}$であるとする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めよ。

(2) $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ (s, tは実数)とするとき、線分APが三角形ABCの外接円の直径となるようにs, tの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積を求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$(\sqrt{6})^2 = 1^2 + 2^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$6 = 1 + 4 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}$

(2) s, tの値を求める。

$\overrightarrow{AP}$が三角形ABCの外接円の直径であるとき、$\angle{ABP}=90^\circ$および$\angle{ACP}=90^\circ$となる。

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$および$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{CP} = 0$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (s-1)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = (s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) \cdot ((s-1)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) = 0$

$s(s-1)|\overrightarrow{AB}|^2 + st\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + t(s-1)\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + t^2|\overrightarrow{AC}|^2 = 0$

$s(s-1) \cdot 1 + st \cdot (-\frac{1}{2}) + t(s-1) \cdot (-\frac{1}{2}) + t^2 \cdot 4 = 0$

$s^2 - s - \frac{1}{2}st - \frac{1}{2}st + \frac{1}{2}t + 4t^2 = 0$

$s^2 - s - st + \frac{1}{2}t + 4t^2 = 0$

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = s\overrightarrow{AB} + (t-1)\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{CP} = (s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) \cdot (s\overrightarrow{AB} + (t-1)\overrightarrow{AC}) = 0$

$s^2|\overrightarrow{AB}|^2 + s(t-1)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + ts\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + t(t-1)|\overrightarrow{AC}|^2 = 0$

$s^2 \cdot 1 + s(t-1) \cdot (-\frac{1}{2}) + ts \cdot (-\frac{1}{2}) + t(t-1) \cdot 4 = 0$

$s^2 - \frac{1}{2}st + \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}st + 4t^2 - 4t = 0$

$s^2 - st + \frac{1}{2}s + 4t^2 - 4t = 0$

$s^2 - s - st + \frac{1}{2}t + 4t^2 = 0$

$s^2 - st + \frac{1}{2}s + 4t^2 - 4t = 0$

辺々引くと

$-s + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}s + 4t = 0$

$-\frac{3}{2}s + \frac{9}{2}t = 0$

$s = 3t$

$9t^2 - 3t - 3t^2 + \frac{1}{2}t + 4t^2 = 0$

$10t^2 - \frac{5}{2}t = 0$

$t(10t - \frac{5}{2}) = 0$

$t \ne 0$より、$10t = \frac{5}{2}$

$t = \frac{1}{4}$

$s = 3t = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}$

(2) $s = \frac{3}{4}, t = \frac{1}{4}$