三角形ABCにおいて、$|AB| = 1$, $|AC| = 2$, $|BC| = \sqrt{6}$であるとき、ベクトルABとベクトルACの内積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$|AB| = 1$, $|AC| = 2$, $|BC| = \sqrt{6}$であるとき、ベクトルABとベクトルACの内積を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$である。

したがって、

$|\vec{BC}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AB}|^2$

$|\vec{BC}|^2 = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB})$

$|\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + |\vec{AB}|^2$

与えられた条件を代入すると、

$(\sqrt{6})^2 = 2^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + 1^2$

$6 = 4 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC} + 1$

$6 = 5 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

$2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 - 6$

$2\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -1$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$