三角形ABCと点Pについて、等式 $2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。 (1) 点Pは三角形ABCに対してどのような位置にあるか答えよ。 (2) 三角形PBC, 三角形PCA, 三角形PABの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pについて、等式 $2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立つ。

(1) 点Pは三角形ABCに対してどのような位置にあるか答えよ。

(2) 三角形PBC, 三角形PCA, 三角形PABの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 始点をAに変換する。

$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$

$-2\overrightarrow{AP} + 3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$

$-2\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{0}$

$9\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{9}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{9} (\frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{7})$

ここで点Dを$\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{7}$となる点とすると、Dは辺BCを4:3に内分する点である。

$\overrightarrow{AP} = \frac{7}{9}\overrightarrow{AD}$

よって、点Pは線分ADを7:2に内分する点である。ここでDは辺BCを4:3に内分する点である。

(2) 面積比を求める。

$\overrightarrow{AP} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}}{9}$を変形する。

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

このとき、$x+y+z=k$を満たす実数$x, y, z$について、$x\overrightarrow{PA} + y\overrightarrow{PB} + z\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立つ時、

$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = x:y:z$となる。

与えられた条件は $2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$なので、$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = 2:3:4$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは、辺BCを4:3に内分する点をDとすると、線分ADを7:2に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 4:3:2$