三角形ABCにおいて、ベクトルABが(1, -1)、ベクトルACが(-1, 7)と与えられている。 (1) ベクトルACと同じ向きの単位ベクトルを求める。 (2) ベクトルACと垂直な単位ベクトルを求める。 (3) ベクトルBCと平行で大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ベクトルABが(1, -1)、ベクトルACが(-1, 7)と与えられている。

(1) ベクトルACと同じ向きの単位ベクトルを求める。

(2) ベクトルACと垂直な単位ベクトルを求める。

(3) ベクトルBCと平行で大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルACの大きさを求め、その大きさでベクトルACを割ることで単位ベクトルを求める。

ベクトルACの大きさは$\sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$である。

したがって、求める単位ベクトルは$\frac{1}{5\sqrt{2}}(-1, 7) = (-\frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}})$となる。

(2) ベクトルAC = (-1, 7)と垂直なベクトルを(x, y)とする。内積が0であることから、$-x + 7y = 0$が成り立つ。つまり、$x = 7y$である。

単位ベクトルであることから、$x^2 + y^2 = 1$である。

$x = 7y$を代入して$(7y)^2 + y^2 = 1$より、$49y^2 + y^2 = 50y^2 = 1$なので、$y^2 = \frac{1}{50}$、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{50}} = \pm \frac{1}{5\sqrt{2}}$。

$y = \frac{1}{5\sqrt{2}}$のとき、$x = 7y = \frac{7}{5\sqrt{2}}$。

$y = -\frac{1}{5\sqrt{2}}$のとき、$x = 7y = -\frac{7}{5\sqrt{2}}$。

したがって、求める単位ベクトルは$(\frac{7}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{5\sqrt{2}})$または$(-\frac{7}{5\sqrt{2}}, -\frac{1}{5\sqrt{2}})$となる。

(3) まずベクトルBCを求める。$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (-1, 7) - (1, -1) = (-2, 8)$である。

ベクトルBCと平行なベクトルは$k(-2, 8) = (-2k, 8k)$と表せる。

このベクトルの大きさが$\sqrt{17}$であるから、$\sqrt{(-2k)^2 + (8k)^2} = \sqrt{4k^2 + 64k^2} = \sqrt{68k^2} = \sqrt{68}|k| = 2\sqrt{17}|k| = \sqrt{17}$。

$2|k| = 1$より、$|k| = \frac{1}{2}$、$k = \pm \frac{1}{2}$。

$k = \frac{1}{2}$のとき、求めるベクトルは$(-1, 4)$。

$k = -\frac{1}{2}$のとき、求めるベクトルは$(1, -4)$。

3. 最終的な答え

(1) $(-\frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}})$

(2) $(\frac{7}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{5\sqrt{2}})$、$(-\frac{7}{5\sqrt{2}}, -\frac{1}{5\sqrt{2}})$

(3) $(-1, 4)$、$(1, -4)$