三角形ABCにおいて、ベクトルABが(1, -1)、ベクトルACが(-1, 7)である。 (3) ベクトルBCと平行で、大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。 (4) ベクトルBCと垂直で、大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ベクトルABが(1, -1)、ベクトルACが(-1, 7)である。

(3) ベクトルBCと平行で、大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。

(4) ベクトルBCと垂直で、大きさが$\sqrt{17}$のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(3)

まず、ベクトルBCを求める。

$BC = AC - AB = (-1, 7) - (1, -1) = (-2, 8)$

次に、ベクトルBCと同じ向きの単位ベクトルを求める。

$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

単位ベクトルは、$BC/|BC| = \frac{1}{2\sqrt{17}}(-2, 8) = (\frac{-1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}})$

大きさが$\sqrt{17}$のベクトルは、単位ベクトルに$\sqrt{17}$を掛ければよい。

$\sqrt{17} \times (\frac{-1}{\sqrt{17}}, \frac{4}{\sqrt{17}}) = (-1, 4)$

また、ベクトルBCと平行で逆向きのベクトルも考えられる。

$-BC/|BC| = (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{-4}{\sqrt{17}})$

$\sqrt{17} \times (\frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{-4}{\sqrt{17}}) = (1, -4)$

(4)

ベクトルBC = (-2, 8)と垂直なベクトルを(x, y)とすると、内積が0になる。

$BC \cdot (x, y) = -2x + 8y = 0$

$x = 4y$

大きさが$\sqrt{17}$なので、$x^2 + y^2 = 17$

$(4y)^2 + y^2 = 17$

$16y^2 + y^2 = 17$

$17y^2 = 17$

$y^2 = 1$

$y = \pm 1$

$y = 1$のとき、$x = 4$

$y = -1$のとき、$x = -4$

したがって、求めるベクトルは(4, 1)または(-4, -1)である。

3. 最終的な答え

(3) ベクトルBCと平行で大きさが$\sqrt{17}$のベクトル: $(-1, 4), (1, -4)$

(4) ベクトルBCと垂直で大きさが$\sqrt{17}$のベクトル: $(4, 1), (-4, -1)$