一辺が6cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとする。四面体M-C-F-Hの体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が6cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとする。四面体M-C-F-Hの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

四面体M-C-F-Hの体積は、立方体ABCD-EFGHから、四面体M-A-D-H, B-C-F-M, C-D-H-F, E-F-H-Mを引くことで求めることができる。

立方体ABCD-EFGHの体積は、

$6 \times 6 \times 6 = 216 cm^3$

四面体M-A-D-Hは三角錐であり、底面を三角形ADHとすると、高さはAMとなる。

三角形ADHの面積は、

$\frac{1}{2} \times AD \times AH = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 cm^2$

AMの長さは、ABの中点なので$6/2 = 3cm$

したがって、四面体M-A-D-Hの体積は、

$\frac{1}{3} \times 18 \times 3 = 18 cm^3$

四面体B-C-F-Mは三角錐であり、底面を三角形BCFとすると、高さはBMとなる。

三角形BCFの面積は、

$\frac{1}{2} \times BC \times BF = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 cm^2$

BMの長さは、ABの中点なので$6/2 = 3cm$

したがって、四面体B-C-F-Mの体積は、

$\frac{1}{3} \times 18 \times 3 = 18 cm^3$

四面体C-D-H-Fは三角錐であり、底面を三角形CDHとすると、高さはDFとなる。

三角形CDHの面積は、

$\frac{1}{2} \times CD \times DH = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 cm^2$

DFの長さは、６√2ｃｍ

したがって、四面体C-D-H-Fの体積は、

$\frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36 cm^3$

四面体E-F-H-Mは四角錐であり、底面を正方形EFGHとすると、高さはEから底面EFGHに下ろした垂線となる。高さはAMなので、

正方形EFGHの面積は、$6 \times 6 = 36 cm^2$

したがって、四面体E-F-H-Mの体積は、

$1/3 \times 36 \times 3 = 36 cm^3$

四面体M-C-F-Hの体積は、

$216 - 18 - 18 - 36 = 144 cm^3$

3. 最終的な答え

144 $cm^3$