与えられた円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求めます。 具体的には、以下の4つの問題について解きます。 (1) $x^2+y^2=25$, P(4, 3) (2) $x^2+y^2=5$, P(1, -2) (3) $x^2+y^2=4$, P(-2, 0) (4) $x^2+y^2=9$, P($\sqrt{3}$, -$\sqrt{6}$)

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点Pにおける接線の方程式を求めます。

具体的には、以下の4つの問題について解きます。

(1) $x^2+y^2=25$, P(4, 3)

(2) $x^2+y^2=5$, P(1, -2)

(3) $x^2+y^2=4$, P(-2, 0)

(4) $x^2+y^2=9$, P($\sqrt{3}$, -$\sqrt{6}$)

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = r^2$

で与えられます。

(1) $x^2 + y^2 = 25$, P(4, 3)

$x_1 = 4$, $y_1 = 3$, $r^2 = 25$ より、接線の方程式は

$4x + 3y = 25$

(2) $x^2 + y^2 = 5$, P(1, -2)

$x_1 = 1$, $y_1 = -2$, $r^2 = 5$ より、接線の方程式は

$1x + (-2)y = 5$

$x - 2y = 5$

(3) $x^2 + y^2 = 4$, P(-2, 0)

$x_1 = -2$, $y_1 = 0$, $r^2 = 4$ より、接線の方程式は

$(-2)x + 0y = 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

(4) $x^2 + y^2 = 9$, P($\sqrt{3}$, -$\sqrt{6}$)

$x_1 = \sqrt{3}$, $y_1 = -\sqrt{6}$, $r^2 = 9$ より、接線の方程式は

$\sqrt{3}x - \sqrt{6}y = 9$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y = 25$

(2) $x - 2y = 5$

(3) $x = -2$

(4) $\sqrt{3}x - \sqrt{6}y = 9$

あるいは、$\sqrt{3}x - \sqrt{6}y = 9$の両辺を$\sqrt{3}$で割って

$x - \sqrt{2}y = 3\sqrt{3}$

あるいは、$\sqrt{6}y = \sqrt{3}x - 9$より

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{3\sqrt{6}}{2}$

と答えても正解です。