円と直線の位置関係を調べる問題です。具体的には、以下の3つの問題について、円と直線の交点の座標を求めます。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -x + 2$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x - 2y = 5$ (3) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ と直線 $y = 2x - 1$

1. 問題の内容

円と直線の位置関係を調べる問題です。具体的には、以下の3つの問題について、円と直線の交点の座標を求めます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -x + 2$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $x - 2y = 5$

(3) 円 $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ と直線 $y = 2x - 1$

2. 解き方の手順

円と直線の交点を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入して、得られた二次方程式を解きます。二次方程式の解の個数によって、円と直線の位置関係が分かります。

* 解が2個の場合：円と直線は2点で交わる

* 解が1個の場合：円と直線は接する

* 解がない場合：円と直線は交わらない

(1)

$y = -x + 2$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入します。

$x^2 + (-x + 2)^2 = 10$

$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき $y = -3 + 2 = -1$

$x = -1$ のとき $y = -(-1) + 2 = 3$

(2)

$x - 2y = 5$ より $x = 2y + 5$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$(2y + 5)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 + 20y + 25 + y^2 = 5$

$5y^2 + 20y + 20 = 0$

$y^2 + 4y + 4 = 0$

$(y + 2)^2 = 0$

$y = -2$

$y = -2$ のとき $x = 2(-2) + 5 = 1$

(3)

$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ を変形します。

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) + 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$

$y = 2x - 1$ を $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$ に代入します。

$(x - 2)^2 + (2x - 1 + 1)^2 = 1$

$(x - 2)^2 + (2x)^2 = 1$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 = 1$

$5x^2 - 4x + 3 = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(5)(3) = 16 - 60 = -44 < 0$

よって、実数解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) (3, -1), (-1, 3)

(2) (1, -2)

(3) 交点なし