与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を計算し、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を計算し、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、次のように計算します。

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ のとき、

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積 $S$ は、外積の大きさ $||\mathbf{a} \times \mathbf{b}||$ で求められます。

$S = ||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$

(1) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3 \\ 3 - 3 \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$S = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

(2) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 0 - 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -8 + 6 \\ 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$S = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$

(3) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 5 - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 5 \\ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 \\ -2 - 10 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -12 \\ 2 \end{pmatrix}$

$S = \sqrt{1^2 + (-12)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 144 + 4} = \sqrt{149}$

(4) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 12 \\ 0 - 2 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

$S = \sqrt{(-9)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 4 + 36} = \sqrt{121} = 11$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{10}$

(2) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{17}$

(3) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -12 \\ 2 \end{pmatrix}$, $S = \sqrt{149}$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -9 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$, $S = 11$