三角錐PABCにおいて、PA=PB=PC=4, AB=6, BC=4, CA=5である。頂点Pから底面ABCへ下ろした垂線と底面ABCとの交点をHとする。 (1) AHの長さを求めよ。 (2) PHの長さを求めよ。 (3) △ABCの面積を求めよ。 (4) 三角錐PABCの体積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

三角錐PABCにおいて、PA=PB=PC=4, AB=6, BC=4, CA=5である。頂点Pから底面ABCへ下ろした垂線と底面ABCとの交点をHとする。

(1) AHの長さを求めよ。

(2) PHの長さを求めよ。

(3) △ABCの面積を求めよ。

(4) 三角錐PABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さ

点Hは△ABCの外心である。理由はPA = PB = PC = 4から、Hが△ABCの外接円の中心になるから。

△ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$cos∠BAC = (6^2 + 5^2 - 4^2) / (2 * 6 * 5) = (36 + 25 - 16) / 60 = 45 / 60 = 3/4$

$sin∠BAC = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \sqrt{7} / 4$

△ABCの外接円の半径Rは、$2R = BC/sin∠BAC$より、$R = 4 / (2 * \sqrt{7}/4) = 8/\sqrt{7} = (8\sqrt{7}) / 7$

したがって、$AH = R = (8\sqrt{7}) / 7$

(2) PHの長さ

三平方の定理より、$PH = \sqrt{PA^2 - AH^2} = \sqrt{4^2 - ((8\sqrt{7})/7)^2} = \sqrt{16 - (64*7)/49} = \sqrt{16 - 64/7} = \sqrt{(112-64)/7} = \sqrt{48/7} = 4\sqrt{3/7} = (4\sqrt{21}) / 7$

(3) △ABCの面積

ヘロンの公式を用いる。

s = (6 + 4 + 5)/2 = 15/2

△ABCの面積Sは、

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(15/2)(15/2-6)(15/2-4)(15/2-5)} = \sqrt{(15/2)(3/2)(7/2)(5/2)} = \sqrt{(1575)/16} = (15\sqrt{7})/4$

(4) 三角錐PABCの体積

$V = (1/3) * S * PH = (1/3) * (15\sqrt{7})/4 * (4\sqrt{21})/7 = (1/3) * (15\sqrt{7})/4 * (4\sqrt{3*7})/7 = (1/3) * (15\sqrt{7})/4 * (4\sqrt{3} * \sqrt{7})/7 = (15 * 7 * \sqrt{3}) / (3*4*7) * 4 = (15\sqrt{3})/3 = 5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) AHの長さ：$\frac{8\sqrt{7}}{7}$

(2) PHの長さ：$\frac{4\sqrt{21}}{7}$

(3) △ABCの面積：$\frac{15\sqrt{7}}{4}$

(4) 三角錐PABCの体積：$5\sqrt{3}$