平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとします。$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$ とするとき、3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明します。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとします。$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{c}$ とするとき、3点P, Q, Cが一直線上にあることを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{BQ}$、$\overrightarrow{BC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{c}$ を用いて表します。

点Pは辺ABを3:2に内分するので、

$\overrightarrow{BP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{BA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

点Qは対角線BDを2:5に内分するので、

$\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{7}\overrightarrow{BD}$

ここで、$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{c}$

したがって、

$\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$

$\overrightarrow{BC} = \vec{c}$

次に、$\overrightarrow{PC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{c}$ を用いて表します。

$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BP} = \vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a}$

同様に、$\overrightarrow{QC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{c}$ を用いて表します。

$\overrightarrow{QC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BQ} = \vec{c} - (\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}) = \frac{5}{7}\vec{c} - \frac{2}{7}\vec{a}$

$\overrightarrow{QC} = k \overrightarrow{PC}$ となる実数 $k$ が存在することを示します。

$\overrightarrow{QC} = \frac{5}{7}\vec{c} - \frac{2}{7}\vec{a} = k(\vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a}) = k\vec{c} - \frac{2}{5}k\vec{a}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{5}{7} = k$

$-\frac{2}{7} = -\frac{2}{5}k$

$k = \frac{5}{7}$

したがって、$\overrightarrow{QC} = \frac{5}{7}\overrightarrow{PC}$ となり、点P, Q, Cは一直線上にあります。

3. 最終的な答え

点P, Q, Cは一直線上にある。