$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=5$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ である。$2\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+s\vec{b}$ が垂直であるとき、$s$ の値を求めよ。

以下、画像にある問題の解答を示します。

**8.(3)**

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=5$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ である。$2\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+s\vec{b}$ が垂直であるとき、$s$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $120^\circ$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{120^\circ} = 1 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$ である。

$2\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+s\vec{b}$ が垂直なので、$(2\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+s\vec{b}) = 0$ である。

$(2\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+s\vec{b}) = 2|\vec{a}|^2 + 2s(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) - s|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{5}{2}$ を代入すると、

$2 + 2s(-\frac{5}{2}) - (-\frac{5}{2}) - s \cdot 25 = 0$

$2 - 5s + \frac{5}{2} - 25s = 0$

$4 - 10s + 5 - 50s = 0$

$9 - 60s = 0$

$60s = 9$

$s = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{3}{20}$

**8.(4)**

1. 問題の内容

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$|\vec{a}-\vec{b}|$ の最小値を求めよ。ただし、$|\vec{a}|=1$とする。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{60^\circ} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = \frac{|\vec{b}|}{2}$ である。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 - 2 \cdot \frac{|\vec{b}|}{2} + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - |\vec{b}| + 1$

$f(|\vec{b}|) = |\vec{b}|^2 - |\vec{b}| + 1$ とおくと、この関数は $|\vec{b}| = \frac{1}{2}$ のとき最小値をとる。

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1 - 2 + 4}{4} = \frac{3}{4}$

よって、$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ の最小値は $\frac{3}{4}$ であるから、$|\vec{a} - \vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

**9.**

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ が $60^\circ$ のとき、$\vec{a} + \vec{b}$ と $-\vec{a} + 2\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{60^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ である。

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 2\vec{b}) = -|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = -1 + 2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} + 2 = -1 + 1 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 1 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$

$|-\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 1 - 4(\frac{1}{2}) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

$|-\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{3}$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a} + \vec{b}||-\vec{a} + 2\vec{b}|\cos{\theta}$

$\frac{3}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cos{\theta}$

$\frac{3}{2} = 3\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

$\theta = 60^\circ$